Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов

1. Решение нелинейного уравнения. 1

1. 1. Отделение корней (1-этап). 1

1. 2. Уточнение корня с заданной точностью ? (2-й этап). Метод касательных. 2

1. 3. Проанализировать полученные результаты, установить зависимость количества итераций от задаваемой точности ?. 3

1. 4. Решение нелинейного уравнения с использованием надстройки. 4

2. Численное интегрирование. 4

2. 1. Расчет площади методом входящих прямоугольников. 4

2. 1. 1. n=5. 5

2. 1. 2. n=10. 6

2. 2. Просчитаем контрольный пример для 3-х разбивок. 7

Задание: вычислить площади криволинейных трапеций S1 ,S2, ограниченных непрерывной на отрезке [a, b] функцией y=f(x).

Задание: Решить нелинейное уравнение y=sin x2 + cos x2 -10x, используя приближенный метод - метод Ньютона (касательных).

1. 1. Отделение корней (1-й этап).

Для определения количества действительных корней и их локализации протабулируем функцию y=sin x2 + cos x2 -10x и построим ее график.

Поскольку производная нашей функции y’= 2x*cos x2 - 2x*sin x2 -10 существует и не меняет знак для , то анализ таблицы и график функции показывает, что на отрезке [-1;1] уравнение имеет единственный корень.

x y=sin x2 + cos x2 -10x

-1 11,38

-0,8 9,40

-0,6 7,29

-0,4 5,15

-0,2 3,04

0 1,00

0,2 -0,96

0,4 -2,85

0,6 -4,71

0,8 -6,60

1 -8,62

Расчет площади криволинейных трапеций для двух видов разбивок:

2. 1. 1. n=5

Численное интегрирование методом входящих прямоугольников

J= -10,101? (sin x2 + cos x2 -10x)dx

n= 5

a= -1

b= 0,101

h= 0,2202

номер узла X f(x) ab? f(x)dx

0 -1 11,38 0,000

1 -0,7798 9,19 2,506

2 -0,5596 6,86 4,530

3 -0,3394 4,50 6,039

4 -0,1192 2,21 7,031

5 0,101 0,00 7,517 приблизительное значение интеграла при n=5

J= 0,1011? (sin x2 + cos x2 -10x)dx

n= 5

a= 0,101

b= 1

h= 0,1798

номер узла X f(x) ab? f(x)dx

0 0,101 0,00 0,000

1 0,2808 -1,73 0,000

2 0,4606 -3,42 -0,311

3 0,6404 -5,09 -0,926

4 0,8202 -6,80 -1,841

5 1 -8,62 -3,063 приблизительное значение интеграла при n=5

IS1I=7,517 IS2I=3,063

S=S1+S2=7,517+3,063=10,58

2. 1. 2. n=10

Численное интегрирование методом входящих прямоугольников

J= -10,101? (sin x2 + cos x2 -10x)dx

n= 10

a= -1

b= 0,101

h= 0,1101

номер узла X f(x) ab? f(x)dx

0 -1,000 11,38 0,000

1 -0,890 10,31 1,253

2 -0,780 9,19 2,389

3 -0,670 8,03 3,400

4 -0,560 6,86 4,285

5 -0,450 5,68 5,040

6 -0,339 4,50 5,664

7 -0,229 3,34 6,160

8 -0,119 2,21 6,528

9 -0,009 1,09 6,771

10 0,101 0,00 6,891 приблизительное значение интеграла при n=10

J= 0,1011? (sin x2 + cos x2 -10x)dx

n= 10

a= 0,101

b= 1

h= 0,0899

номер узла X f(x) ab? f(x)dx

0 0,101 0,00 0,000

1 0,191 -0,87 0,000

2 0,281 -1,73 -0,078

3 0,371 -2,58 -0,234

4 0,461 -3,42 -0,466

5 0,551 -4,25 -0,773

6 0,640 -5,09 -1,156

7 0,730 -5,93 -1,613

8 0,820 -6,80 -2,147

9 0,910 -7,69 -2,758

10 1,000 -8,62 -3,449 приблизительное значение интеграла при n=10

IS1I=6,891 IS2I=3,449

S=S1+S2=6,891+3,449=10,34

Очевидно, что количество разбивок не удовлетворяют условию , для ?=0,01. Следовательно, следует продолжить итерационный процесс для заданной точности.

2. 2. Просчитаем контрольный пример для 3-х разбивок по формуле трапеций

Численное интегрирование методом трапеций

J= -10,101? (sin x2 + cos x2 -10x)dx

n= 3

a= -1

b= 0,101

h= 0,367

номер узла X f(x) ab?f(x)dx

0 -1 11,38 0,000

1 -0,633 7,64 3,491

2 -0,266 3,73 5,577

3 0,101 0,00 6,261

J= 0,1011? (sin x2 + cos x2 -10x)dx

n= 3

a= 0,101

b= 1

h= 0,299667

номер узла X f(x) ab? f(x)dx

0 0,101 0,00 0,000

1 0,401 -2,86 -0,428

2 0,700 -5,65 -1,704

3 1,000 -8,62 -3,841

S=6,261+3,841=10,102