Готовые работы » Математика

Необходимость математики как таковой

Математика является основой точных наук. А точные науки развивают умение логически мыслить и анализировать. Математика требуется во многих областях. Многие люди не задумываются, о том, как важна математика в нашей жизни. Без нее мы не смогли бы построить здание, ракету, произвести какие-либо расчеты и многое другое. Математика является основой всех основ и в каждой области, она используется везде: в медицине, промышленности, экологии, кулинарии!

Без математики, да и вообще без любой другой науки, наша жизнь была бы апатичной и однообразной, мы многого бы не узнали об окружающем нас мире, до сих пор бы считали, что Земля плоская и думали бы, что гроза - это божье наказание. Без математики не развивалось бы машиностроение, и у нас не было бы никакого современного оборудования, которое мы имеем сейчас: не было бы компьютеров, телевизоров, даже простых калькуляторов, не начала бы развиваться такая важная отрасль как робототехника.

Примеров можно привести огромное множество, но вывод напрашивается только один. Без математики, как науки, человечество давно остановилось бы в своем развитии, а может, даже, деградировало бы. Можно рассмотреть важность математики для каждого, отдельного человека. С раннего возраста ребенок учится считать, решать задачи, уравнения, это помогает ему в будущем научиться логически мыслить. В повседневной жизни мы так же постоянно сталкиваемся с простейшими расчетами и вычислениями, без математики это вызывало бы большие затруднения.

Типы математических задач

Среди встречающихся в практике математических задач можно выделить три типа:

Прямая задача, когда по известным физическим законам, действующим внутри исследуемой системы надо ответить на вопрос: как будет действовать вся эта сложная система? (известна структура системы и воздействие, неизвестна реакция)

Обратная задача – математическая диагностика, которая заключается в том, что требуется определить математическую модель объекта, процесса, явления, недоступного для прямого измерения. К этим задачам относятся: задачи технической диагностики, медицинской диагностики, задачи геофизики, астрофизики и др.

Математические модели, связанные с проектированием управляющих систем с заранее поставленными целями управления (автоматизированные информационные системы, АСУ).

В приложениях математического моделирования часто встречаются некоторые наиболее типичные вычислительные задачи:

- решение систем линейных алгебраических уравнений;

- приближённые вычисления интегралов и производных;

- численные методы решения дифференциальных уравнений как обыкновенных, так и с частными производными;

- решение экстремальных задач и др.

Основные понятия и определения

Вычислительная математика – раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с использованием ЭВМ.

Численные методы – методы приближённого или точного решения задач чистой или прикладной математики, основанные на построении конечной последовательности действий над конечным множеством чисел.

Численные методы являются предметом изучения вычислительной математики.

Первоначально вычислительная математика понималась как прикладная математика. Термин «вычислительная математика» применяется и тогда, когда имеют в виду теорию численных методов и алгоритмов решения типовых математических задач.

В рамках современной терминологии вычислительная математика – часть информатики, относящаяся к методологии применения ЭВМ для решения задач науки, техники, производства и практически всех областей человеческой деятельности.

Современная вычислительная математика занимается изучением математических моделей окружающей нас действительности как с точки зрения исследования различных объектов и явлений, так и с точки зрения развития методов управления ими.

Математическая модель – система математических соотношений, описывающих изучаемый процесс или явление.

Для составления математической модели можно использовать любые математические средства – язык дифференциальных или интегральных уравнений, теорию множеств, абстрактную алгебру, математическую логику, теорию вероятностей и др.

Процесс составления математической модели называется математическим моделированием.

Этапы математического моделирования

Можно выделить следующие естественные этапы изучения математических моделей:

Создание качественной модели изучаемого объекта или явления;

Создание соответствующей математической модели;

Изучение математической задачи, порождаемой рассматриваемой моделью.

Если математическая модель формулируется в терминах интегральных и дифференциальных уравнений функций непрерывного аргумента (так называемая континуальная модель), то осуществляется переход от континуальной математической модели к дискретной математической модели. Этот переход заключается в замене функций непрерывного аргумента функциями дискретного аргумента и уравнений континуальной модели конечно-разностными уравнениями. При этом интеграл заменяется конечной суммой, а производная – разностным отношением. В результате, как правило, приходят к системе большого количества уравнений с большим количеством неизвестных (дискретная математическая модель).

Выбор (или разработка) численного метода или вычислительного алгоритма для решения полученной математической задачи с некоторой указанной точностью на ЭВМ.

Составление программы и выполнение на ЭВМ.

Анализ полученных данных (или заданий) и, если требуется, управление на их основе объектом или явлением.

На всех перечисленных выше этапах происходит уточнение математической модели.

Это технологическая цепочка современной вычислительной математики.

Проблемы, связанные с применением численных методов

Применение численных методов к решению математических задач связано с рядом проблем, которые связаны с:

появлением погрешности аппроксимации, обусловленной переходом от континуальной модели к дискретной;

погрешностью округления, возникающей в ЭВМ при операциях над машинными числами, имеющими ограниченное количество значащих цифр.

Учёт этих погрешностей даёт реальный вычислительный алгоритм в отличие от теоретического.

Особое значение при этом приобрёл анализ устойчивости вычислительного алгоритма, т.е. анализ критериев и условий роста погрешности округления и аппроксимации.

Основным вопросом теории численных методов является получение вычислительных алгоритмов, удовлетворяющих требованиям высокой точности, устойчивости и экономичности, которая может быть измерена некоторым условным машинным временем. Эти требования независимы, фактически взаимно противоречивы.

Составление вычислительного алгоритма, удовлетворяющего этим требованиям, представляет собой сложную задачу оптимизации вычислительного алгоритма.

Основой численных методов решения математических задач является дискретизация математической модели с последующим сведением полученных, вообще говоря, нелинейных уравнений к системе линейных алгебраических уравнений.

В связи с этим численные методы можно разделить по способу дискретизации на проекционные и конечно-разностные, а по способу решения линейной системы - на прямые и итерационные.