• Задать вопрос менеджеру

Twitter новости

Обучение письменному иноязычному общению на основе ИКТ http://t.co/IK2NAjncrk

Online-опрос

Антиплагиат онлайнДипломант
Яндекс.Метрика

Итерационные методы решения нелинейных уравнений. Метод Ньютона

Предмет:Математика
Тип:Курсовая
Объем, листов:9
Word
Получить полную версию работы
Релевантные слова:Ньютона, метода, решения, алгоритм, уравнения, метод, пример, задач, производной, работы, датаинициалы, фамилия, содержание, функция, сходимости
Процент оригинальности:
95 %
Цена:300 руб.
Содержание:

Содержание2

1. Метод Ньютона (касательных). 3

1. 1Описание3

1. 2 Алгоритм решения задач с помощью метода Ньютона…………………. 3

1. 3Блок-схема алгоритма5

1. 4Листинг программы6

2. Результаты работы программы8

Пример №18

Пример №28

Пример №39

3. Вывод9

Вступление:

В рамках метода Ньютона предполагается, что функция дифференцируема. Согласно этому методу строится линейная аппроксимация функции в начальной точке, а точка, в которой аппроксимирующая линейная функция обращается в нуль, принимается в качестве следующего приближения.

Итерационый процесс схождения к корню реализуется формулой:

xn+1=xn-f(xn)/f '(xn). Вычисления продолжаются пока соблюдается условие

|xn+1-xn |>=eps.

Метод Ньютона обладает высокой скоростью сходимости. Обычно абсолютная точность решения 10-5 - 10-6 достигается через 5-6 итераций.

Недостатком метода является необходимость вычисления на каждой итерации не только левой части уравнения, но и её производной.

Можно, несколько уменьшив скорость сходимости, ограничиться вычислением производной f'(x) только на первой итерации, а затем вычислять лишь значения f(x), не изменяя производной f'(x). Это алгоритм так называемого модифицированного метода Ньютона :

xk+1 = xk - f(xk)/f'(x0)

В зависимости от выбора начальной точки и вида функции алгоритм по методу Ньютона может как сходиться к корню уравнения, так и расходиться.

1. 2 Алгоритм решения задач с помощью метода Ньютона

- определяем интервал (если он не задан), которому будет принадлежать корень уравнения. Сужение интервала можно производить методом половинного деления.

- находим f ?(x) и f ?(x), причем f ?(x) ? 0 при x?[a;b], f ?(x) и f ?(x) должны сохранять знак на отрезке [a;b]

- выбираем один из концов отрезка [a,b] за x0, исходя из того, что должно выполняться следующее условие f(x0)?f ?(x0)>0.

- вычисляем , пока не будет достигнуто совпадение десятичных знаков, которые необходимы в ответе, или заданной точности ? - до выполнения неравенства | xi-xi-1| < ?.

Ниже приведена блок-схема алгоритма и листинг программы, реализующей данный алгоритм на языке С++ для кубических уравнений.

Заключение:

На основе результатов тестирования была доказана правильность работы блок-схемы алгоритма и соответствии математической модели.

Список литературы:

Пример №3

Программа для решения кубических уравнений методом касательных (метод Ньютона).

Кубическое уравнение имеет вид

a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0

Введите значение коэффициента a[1] : 1

Введите значение коэффициента a[2] : -6

Введите значение коэффициента a[3] : -9

Введите значение коэффициента a[4] : 58

Необходимо указать интервал поиска решения.

Введите нижнюю границу поиска : 5

Введите верхнюю границу поиска : 6

Введите допустимую погрешность : 0. 00005

Исходное уравнение имеет вид :

1x^3+(-6)x^2+(-9)x+(58)=0

Первая производная имеет вид :

f'(x)=3x^2+(-12)x+(-9)

Вторая производная имеет вид :

f''(x)=6x+(-12)

-------------------------------------------------

| Xn | f(Xn) | |f(Xn)|/m |

-------------------------------------------------

| 6| 4| 0. 6666666667|

| 5. 851851852| 0. 2601229487| 0. 04335382479|

| 5. 840787634| 0. 001413241032| 0. 000235540172|

| 5. 840726862|4. 255405933e-08|7. 092343222e-09|

-------------------------------------------------

Бесплатные работы:

Готовые работы:

Рекомендованные документы: