Решение определенных интегралов методом Монте-Карло

Введение. 3

1 Описание предметной области. 6

2 Описание алгоритма программы. 9

3 Блок схема программы. 9

4 Основные переменные программы. 11

3. Тестирование программы. 14

4. Программное и аппаратное обеспечение. 15

5. Руководство пользователя. 16

6. Заключение. 17

7. Список использованных источников. 18

8. Приложеник А. Листинг программы. 19

9. Приложение Б. Результат выполнения программы. 20

Метод Монте-Карло – это численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин.

Датой рождение метода Монте-Карло принято считать 1949 г. , когда появилась статья под названием «Метод Монте-Карло» (Н. Метрополис, С. Улам). Создателями этого метода считают американских математиков Дж. Неймана и С. Улама. В нашей стране первые статьи были опубликованы в 1955–56 гг. (В. В. Чавчанидзе, Ю. А. Шрейдер, В. С. Владимиров)

Однако теоретическая основа метода была известна давно. Кроме того, некоторые задачи статистики рассчитывались иногда с помощью случайных выборок, т. е. фактически методом Монте-Карло. Однако до появления ЭВМ этот метод не мог найти сколько-нибудь широкого применения, так как моделировать случайные величины вручную – очень трудоёмкая работа. Таким образом, возникновение метода Монте-Карло как весьма универсального численного метода стало возможным только благодаря появлению ЭВМ.

Само название «Монте-Карло» происходит от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своим игорным домом, а одним из простейших механических приборов для получения случайных величин является рулетка.

Первоначально метод Монте-Карло использовался главным образом для решения задач нейтронной физики, где традиционные численные методы оказались малопригодными. Далее его влияние распространилось на широкий круг задач статистической физики, очень разных по своему содержанию. К разделам науки, где всё в большей мере используется метод Монте-Карло, следует отнести задачи теории массового обслуживания, задачи теории игр и математической экономики, задачи теории передачи сообщений при наличии помех и ряд других.

Метод Монте-Карло оказал и продолжает оказывать существенное влияние на развитие методов вычислительной математики и при решении многих задач успешно сочетается с другими вычислительными методами и дополняет их. Его применение оправдано в первую очередь в тех задачах, которые допускают теоретико-вероятностное описание. Это объясняется как естественность получения ответа с некоторой заданной вероятностью в задачах с вероятностным содержанием, так и существенным упрощением процедуры решения.

В подавляющем большинстве задач, решаемых методами Монте-Карло, вычисляют математические ожидания некоторых случайных величин. Так как чаще всего математические ожидания представляют собой обычные интегралы, в том числе и кратные, то центральное положение в теории методов Монте-Карло занимают методы вычисления интегралов.

Процесс выполнения данной работы представлял большой интерес и послужил хорошей возможностью для приобретения новых знаний и навыков, а также закрепления уже полученных.

Были рассмотрены основные свойства метода Монте-Карло и создана программа, показывающая возможности данного метода при использовании ЭВМ.

Было выяснено, что методом Монте-Карло можно решать определенные интегралы, не прибегая к сложным математическим вычислениям. Простота алгоритма метода Монте-Карло позволяет успешно реализовывать их на ЭВМ.

При выполнении данной курсовой работы было создано приложение, вычисляющее определенный интеграл методом Монте-Карло и, таким образом, была выполнена цель и задачи работы.

1. Кнут Д. Э. Искусство программирования. Том 2. Получисленные алгоритмы: Пер. с англ. - М. : «Вильямс», 2000. — 682с.

2. Поляков Д. Б. , Круглов И. Ю. Программирование в среде Турбо Паскаль (версия 5. 5): Справ. -метод. пособие. – М. : Изд-во МАИ, 1992. – 576 с.

3. Данко П. Е. , Попов А. Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1. Учебник. – М. : Москва «Высшая школа», 1986. – 416 с.